传1上王到底要打多少局？

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作者也是通过水姐在b站超燃的视频入坑决斗链接的，小时候和小伙伴经常玩游戏王，一副盗版的六武众杀穿全班的感觉超勇。但是上了高中后，基本没有玩游戏王了，牌也被母亲全部丢掉了，心疼了好久。到了大学可以自由打游戏，入坑游戏王决斗链接后，买了个初始号就全部抽了个六武众卡组魂了一把，由于已经退环境了，到了传说1基本打不上，于是微氪加入了无敌的布鲁矮子，打了好久，不断升降段位，最后才在月末200胜才上王，非常困难，看到那些月初50胜上王的巨佬，感觉十分敬佩，于是我就萌生了一个念头，计算这些大佬的胜率，或者换个说法，在给定胜率下，上王平均（数学期望）需要多少局（期望），这样能给大家上王有个时间上的参考。

上王卡组：

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在传说5给定胜率下上王的概率

由于在传说5需要连续获胜5次才能上王，于是这个问题等价于连续抛硬币，直到出现5次的马尔可夫链过程（Markov Chain），硬币出现正面的概率为获胜的概率。

我们可以看到，在胜率0.6以下时，上王概率是挺小的，在胜率0.8之后，上王概率就挺大的，和猜拳差不多。

在传说5给定胜率下上王的期望

知道概率没啥用，还是得知道要大多少把上王才有用。通过以上模型，我们可以计算期望。由于这个马尔可夫链过程的期望比较难算出，我参考了知乎上一位巨佬的期望求解过程，最后求出连续出现k次硬币正面的数学期望（平均值）。

我们做如下假设

反面（失败）概率为p，正面（获胜）为(1-p)，求出现连续k次反面的次数期望E(k)。

以首次出现正面的情况分别讨论：

1）当第1次为正面时，次数期望为(1-p)(1+E(k))；

2）当第2次为正面时，次数期望为(1-p)p(2+E(k))；

3）当第k次为正面时，次数期望为(1-p)p^(k-1)(k+E(k))；

4）当前k次都是反面时，次数期望为k*p^k

最后得到期望公式为：

最后我们得到如下的图：

我们可以看到，在胜率0.5的情况下，在传说5上王需要打60局，还是挺多的，胜率0.9的情况下，上王需要打10把左右，还是很快的。

由于以上模型比较理想话，没有考虑连败掉段的情况，我根据贴吧整理的升段掉段的情况，使用python进行蒙特卡洛随机模拟决斗者以固定概率获胜决斗的情况，考虑连败掉段机制，最终得到连如下的期望结果

在传说1给定胜率下上王的期望

决斗链接在传说1-5的排位的机制是净胜局5局升一个段位，连输3局掉一个段位，传奇1不掉段位。这个过程比较难用概率论的知识去描述，于是我只能使用计算机的蒙特卡洛随机模拟玩家以固定概率获胜概率进行每局游戏，最后记录传说1-5所需要的平均局数，最后与传说5上王的平均局数，两者相加就可以知道传说1上王的平均局数。通过python进行模拟，重复以上过程1000次取平均值可以得到一个比较收敛的结果，即每个每个胜率下传说1上王的平均局数，最后得到一以下的图：

我200局上王，平均胜率只有0.55左右，确实太垃圾了，那些月初50把上王的巨佬，胜率都在0.9左右，确实太强了。

可不可以再进一步扩展？

在浮动胜率下传说1给定胜率下上王的期望

我进一步考虑以浮动获胜概率进行游戏，这更符合现实中的决斗情况，决斗者每局获胜的概率都不一样，是个随机变动的随机变量，在这里我假设为正态分布，服从一个均值为胜率的正态分布（也可以用其他分布）：

（rate是每局平均胜率，方差是为了在3西格玛原则下，尽量避免胜率不超过1）

这里我假设为通过python进行上一步一样的蒙特卡洛模拟，最终在一个较大次数下获取了上王平均决斗局数。

与之前的结果相差不大，可能用更合理的概率分布模型可以得到更合实际的结果。

由于传说1不掉段，理论上只要有1个人是传说1，所有人都可以上决斗王，大家加油。

我将各个胜率的期望上王游戏局数附在这里：

每个卡组在环境下都有期望对局胜利概率，t表就是这种概率的体现，我在https://www.duellinksmeta.com/网收集了各个卡组的胜利概率，该网站组织的clan-wars记录了各个主流卡组的胜率，我将这些卡组的期望上王决斗次数列在下面，由于样本较少，仅供参考：

Ps：本文在贴吧和决斗链接中文网，旅者营地发布

如果有人需要代码的话，我可以放到github上，作者只是个刚刚入门有希望决斗链接的萌新，，行文中存在很多纰漏，还望各个大佬批评指正，感谢阅读。

参考：

https://www.zhihu.com/question/326216748/answer/702244859

https://zhuanlan.zhihu.com/p/274771068

概率论